循环冗余校验(CRC)算法入门

CRC 算法原理

CRC 算法的基本原理是将数据看作一个大数,与一个预定义的除数使用特殊的除法相除,所得的余数即为数据的 CRC 校验值。

生成多项式

算法的数学原理与多项式相关,用到的除法也基于多项式除法,预定义的除数也叫“生成多项式”,这里的多项式都是只有一个未知数并且各项系数只能是 0 或 1 的多项式(更多的信息可以参考维基百科:有限域算术,这里不多讲)。

我们以 CRC-4/ITU 为例,其生成多项式是 $x^4 + x + 1$,也即:

$$1x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 1x^1 + 1x^0$$

如果我们令 $x = 2$,则多项式中每一项的系数可以看作一个二进制数的对应位,即 $(10011)_2$,是一个 5 位的二进制数,那么用它来做除数,最后可以得到 4 位的余数,也就是 CRC-4/ITU 中的 4。由此可见,生成多项式的首位必然是 1,在一般表示生成多项式的时候我们都省略最高位,再写成十六进制就是 0x03

模二多项式除法

我们先看多项式乘法:

$$ (x^4 + x^1 + x^0) \times (x^4 + x^3 + x^0) = x^8 + x^7 + x^4 + x^5 + x^4 + x^1 + x^4 + x^3 + x^0 $$

这里我们没有合并同类项,如果按照常规的方式合并同类项,即

$$ x^8 + x^7 + x^5 + 3x^4 + x^3 + x^1 + x^0 $$

那就是普通的多项式乘法;对于 CRC 算法,加减法采用模二运算,也就是最后的系数除以 2 取余数,不产生进位,所以最后的结果是:

$$ x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^1 + x^0 $$

这里的加减法采用模二运算后,实际上也就变成了我们平时说的异或(XOR/$\oplus$)运算,以上面 $x^4$ 的系数为例:

$$ 1 + 1 + 1 = 3 \equiv 1 \pmod 2 $$

$$ 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1 $$

下面我们以字母 b 为例,来尝试计算其校验值:

1)b 的 ASCII 码 为 98,即 $(1100010)_2$,并在其后追加 4 (生成多项式位数减1) 个 0,即 $(11000100000)_2$

2)做除法:

b_crc4_0x03

这里由于生成多项式的首位必然是 1,所以我们可以省略首位的 1,同时在计算的时候对每一步被除数首位的 1 直接忽略,那么简化后的除法如下:

b_crc4_0x03_2

位反转

通过上面的计算,我们得到了余数 $(1011)_2$,但是这和我们使用其他工具计算的 b 的 CRC-4/ITU 校验值不相符,
原因是 CRC-4/ITU 的定义中还有两项操作,它要求输入数据在进行计算之前按字节进行位反转,并且最后的结果也要进行位反转,也即输入位反转及输出位反转。

还是以上面的 b 为例,其二进制为 $(1100010)_2$,我们把首位省略的 0 补齐,即 $(01100010)_2$,反转后为 $(01000110)_2$,即字母 F,也就是说我们上面其实是在计算 F 的 CRC-4/ITU 校验值,如果把最后的结果再反转一遍,应该 得到 $(1101)_2$。
我们再用其他工具计算 F 的 CRC-4/ITU 校验值,结果正是 $(1101)_2$ !

需要注意的是这里是按字节进行位反转,字节序本身是不变的。

初始值与输出异或值

除了上面的位反转的情况,实际应用中的 CRC 算法还有初始值和输出异或值,并且它们的最大位数为生成多项式位数减一,例如对于 CRC-4CRC-8 分别为 4 、8,而上面的 CRC-4/ITU 我们可以看作这两个值都是 0。

在计算的时候,初始值要首先与数据的最高位对齐进行异或,然后在进行上述运算求得余数,如果算法要求输入位反转,则应在异或初始值之前反转。

最后的余数再与输出异或值进行异或,如果算法要求输出位反转,则也应该在异或运算之前反转。

完整示例

下面我们以 CRC-5/USB 为例,做一次完整的计算。

CRC-5/USB 的生成多项式是 $x^5 + x^2 + 1$,十六进制表示为 0x05,二进制 $(00101)_2$ (均省略首位1), 初始值及输出异或值均为 0x1f,二进制 $(11111)_2$,并且算法要求输入及输出位反转。

假设要计算的数据是 2b (ASCII),两个字符其分别对应二进制 $(00110010)_2$、$(01100010)_2$。

1)位反转,得到数据 $(0100110001000110)_2$

2)补位(5个0),得到数据 $(010011000100011000000)_2$

3)异或初始值 $(11111)_2$,得到数据 $(101101000100011000000)_2$,注意这里是高位对齐

4)模二除法运算:

2b_crc5usb

我们得到余数 $(11010)_2$,需要注意的是这里最后一行,如果我们划掉的是 1,那么我们还需要再做一次异或生成多项式的运算,总之运算结束的标志是所有原始数据位都被划掉了。

5)对余数进行位反转,得到 $(01011)_2$

6)与输出异或值 $(11111)_2$ 进行异或,得到 $(10100)_2$

这与我们使用其他工具计算所得的结果相符。

CRC 基本原理就介绍到这里,下一篇我们讲查表法计算 CRC 及其编程实现。

---- update ----

由于一些原因,后续的查表法及其编程实现咕咕咕了,不过我已经用 Rust 实现了一个完整的库:https://github.com/nanpuyue/crc,并且发布在了 crates.io 上:crc_all

标签: Rust, CRC, 算法

添加新评论