循环冗余校验（CRC）算法入门
CRC 算法原理
CRC 算法的基本原理是将数据看作一个大数，与一个预定义的除数使用特殊的除法相除，所得的余数即为数据的 CRC 校验值。
生成多项式
算法的数学原理与多项式相关，用到的除法也基于多项式除法，预定义的除数也叫“生成多项式”，这里的多项式都是只有一个未知数并且各项系数只能是 0 或 1 的多项式（更多的信息可以参考维基百科：有限域算术，这里不多讲）。
我们以 CRC-4/ITU 为例，其生成多项式是 $x^4 + x + 1$，也即:
$$1x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 1x^1 + 1x^0$$
如果我们令 $x = 2$，则多项式中每一项的系数可以看作一个二进制数的对应位，即 $(10011)_2$，是一个 5 位的二进制数，那么用它来做除数，最后可以得到 4 位的余数，也就是 CRC-4/ITU 中的 4。由此可见，生成多项式的首位必然是 1，在一般表示生成多项式的时候我们都省略最高位，再写成十六进制就是 0x03。
模二多项式除法
我们先看多项式乘法：
$$ (x^4 + x^1 + x^0) \times (x^4 + x^3 + x^0) = x^8 + x^7 + x^4 + x^5 + x^4 + x^1 + x^4 + x^3 + x^0 $$
这里我们没有合并同类项，如果按照常规的方式合并同类项，即
$$ x^8 + x^7 + x^5 + 3x^4 + x^3 + x^1 + x^0 $$
那就是普通的多项式乘法；对于 CRC 算法，加减法采用模二运算，也就是最后的系数除以 2 取余数，不产生进位，所以最后的结果是：
$$ x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^3 + x^1 + x^0 $$